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经典乌龟追击问题的解决方案
马丁加德纳四龟问题问题补充:四只乌龟在边长为3米的正方形四个角上,以每秒1厘米的速度同时匀速爬行,每只乌龟爬行的方向都是追击(注意:是追击)其右邻角上的乌龟,问经过多少时间他们才能在正方形的中心碰头?答案为300秒,我是初一的,请您用平面直角坐标系的方法解。
补充1:
以正方形中心为原点建立直角坐标系,假定四个乌龟的初始坐标均处于坐标轴上,距离原点均为 a = 150√2cm
在任意时刻,乌龟的运动方向是其运动轨迹曲线的切线,那么,对于第一象限乌龟的坐标为P(x,y),则有微分方程:
dy/dx = (y - x)/(y + x).................................(1)
解此方程即可得到轨迹的曲线方程,另外,可以直接求解曲线的弧长为:
ds = [1 + (dy/dx)^2 ]^(1/2)*dx
= [2(x^2 + y^2)/(x + y)^2 ]^(1/2)*dx ........(2)
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补充2:解微分方程——
首先将上述微分方程转换为极坐标表示,则有:
x = r*cosθ
y = r*sinθ
代入方程(1)求解,得到r = a*e^(-θ),进一步代入(2)并确定积分限,得到:
S = √2*a = 300cm
根据题意可以得到,乌龟所用时间为 300cm/(1cm/s) = 300s
补充3:
将乌龟看作是质点,那么基本思路如下:
1.全部质点的运动都具有等价性,即运动过程中质点之间的相对几何关系不变。
2.任何一个质点瞬间运动方向是其轨迹曲线的切线方向。
根据题意,采用极坐标描述比较方便,推导过程之中采用直角坐标系辅助说明。以N个质点所
共圆之圆心为坐标原点 O,任意选择一个质点在 OX 轴上,那么有:
标号为 k 的质点 Pk ,其直角坐标为Pk(xk,yk),极坐标为Pk(r,θ+k*α),其中,θ为质点
P0的相角,k为质点编号,α=2π/n。由于任何时候,每个质点相对坐标原点的距离相等,所
以r一样。
假定P0点初始坐标为P0(R,0)..................即初始圆半径为 R
现在研究P0质点的运动,假定任意时刻 P0(x,y),即有
x = r*cosθ....... dx = cosθ*dr - r*sinθ*dθ
y = r*sinθ....... dy = sinθ*dr + r*cosθ*dθ
P0追踪的点为P1,其坐标为
x1 = r*cos(θ+α)
y1 = r*sin(θ+α)
P0运动轨迹的切线斜率为:
(y1 - y)/(x1 - x) = dy/dx ...........................(1)
(y1 - y)*dx
= r*[sin(θ+α) - sinθ]*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(α/2)*cos(θ+α/2)*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(π/n)*[ cos(θ+π/n)*cosθ*dr - r*cos(θ+π/n)*sinθ*dθ]
(x1 - x)*dy
= r*[cos(θ+α) - cosθ]*(sinθ*dr + r*cosθ*dθ)
= -2r*sin(π/n)*sin(θ+π/n)*(sinθ*dr + r*cosθ*dθ)
= -2r*sin(π/n)*[ sin(θ+π/n)*sinθ*dr + r*sin(θ+π/n)*cosθ*dθ]
展开(1)得到
(y1 - y)*dx - (x1 - x)*dy = 0
考虑到 r 仅仅在追赶的最后阶段才是无穷小量,所以 r*sin(π/n) 可以约去,得到:
cos(π/n)*dr + r*sin(π/n)*dθ = 0
dr/r = -tg(π/n)*dθ .................................(2)
对(2)积分
ln(r) = -tg(π/n)θ + C
注意到初始条件,P0 坐标为(R,0),得到
r = R*e^[-tg(π/n)θ] .................................(3)
令 K = tg(π/n) ,简化为
r = R*e(-K*θ)
求解曲线长度,采用标准公式:(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 推导得到
ds = [(dr)^2 + (r*dθ)^2]^(1/2)
= [(dr/dθ)^2 + r^2]^(1/2)*dθ
= [K^2 + 1]^(1/2)*r*dθ
对 ds 积分,注意积分区间为(0,∞)
定义积分符号:S[f(x)dx](a,b) 表示f(x)的定积分,积分区间为(a,b)
曲线长度 L = S[ds](0,∞)
L = R*[1 + (1/K)^2]^(1/2)
代入 K = tg(π/n) 得到
L = R/sin(π/n) .....................................(4)
对于那个著名的马丁•加德纳四个乌龟问题,就是 n = 4 的特例,其总路径长度 L = √2*R
即四边形的边长。
1楼
你太牛B了,在讲考研数学(数I)吗?
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